Pensar con los ojos.

Este post nº 162 del Salterio se lo dedico a Ana que es amante de la geometría.

LAS CURVAS CÓMICAS.

Esta es la tercera entrega geométrica.

Como es sabido hay muchas clases de líneas.

Las más populares son las rectas.

Y también hay curvas en gran variedad.

Están las curvas cónicas que surgen de la intersección de una superficie cónica con un plano. Son la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola.

Existen también las curvas mecánicas que son las que describen puntos de circunferencias cuando ruedan por otras líneas, o las que surgen cuando se dobla una vara.

Y muchísimas más de las que no podría hablar porque no tengo ni idea, pero sé que existen.

A Newton se le ocurrió proponer que cualquier curva se podría suponer compuesta de muchos y muy pequeños arcos de circunferencia tangentes. Y las clasificó en positivas y en negativas.

Las líneas curvas positivas tienen todos los centros al mismo lado de la curva. Como la letra “C”.

Las líneas curvas negativas tienen parte de los centros a un lado y parte en el otro. Como la letra “S”.

¿Y qué pasa con las líneas rectas?

Pues que no son ni positivas ni negativas. Ni chicha ni limoná. En el supuesto de que consideren curvas de radio infinito ¿Dónde están los centros? ¿En un lado solo o en los dos? Pueden estar en cualquiera de los dos lados o en los dos ¡Vaya Vd. a saber!

Años más tarde Gauss continuó el razonamiento aplicándolo a las superficies.

Si se corta una superficie por dos planos perpendiculares entre sí se forman dos curvas.

Superficies positivas son las que tienen los centros de las curvas en el mismo lado de la superficie. Como las sandías y los melones.

Superficies negativas son las que tienen los centros de las curvas en ambos lados de la superficie. Como las sillas de montar y las patatas fritas de sobre.

¿Y qué pasa con los planos?

Pues lo que con las rectas, que son superficies que ni chicha ni limoná, ni son superficies positivas, ni negativas ¡ni nada!

Estamos acostumbrados a una geometría plana. Pero hay otras en la que las superficies son positivas o negativas. Una superficie reina del reino positivo es la esfera. Y a algunos se les ocurrió que si había esferas positivas ¿por qué no tendría que haber pseudoesferas negativas? Y las construyeron. Son como dos trompetas pegadas por lo más ancho, pero que por los extremos no se terminan nunca. Por lo que es imposible tener una pseudoesfera entera. No se puede tener más que trozos. Y un trozo de pseudoesfera es la copa de un sombrero de copa.

En esas superficies la suma de los tres ángulos de un triángulo no es igual a la suma de dos rectos. Y no rige el 5º postulado de Euclides, porque por un punto exterior a una recta no pasa una sola paralela.

En las esferas la suma de los 3 ángulos de un triángulo es mayor que la de dos rectos. Y si consideramos lo equivalente a una recta un círculo máximo. Por un punto exterior a un círculo máximo no es posible trazar otro círculo máximo que no corte al anterior en dos puntos. Luego no hay ninguna línea “paralela” que pase por un punto exterior a una línea sin cortarla.

En la pseudoesfera la suma de los tres ángulos de un triángulo es menor de dos rectos. Y por un punto exterior a una línea pasan dos “paralelas”, es decir, dos líneas que no la cortan.

Pero ¡Qué pasa con la geometría!

Pues que si se quiere no hay una sola, sino muchas!

Dos de ellas son la GEOMETRÍA EUCLIDIANA y la GEOMETRÍA NO EUCLIDIANA.

En realidad son lo mismo salvo en un detalle, que en la segunda no rige el 5º postulado de Euclides.

Luego la euclidiana es la referida a esa superficie neutra e insulsa que son los planos y la no euclidiana a cualquier superficie positiva o negativa.

Pero en esa cuenta cayeron, a escala histórica, muy recientemente, porque de geometría no euclidiana se habla tan solo desde mediados del XIX.

Aunque nadie lo diga mucho antes de que se enunciara la no euclidiana existen la GEOMETRÍA DESCRIPTIVA que es la de las perspectivas y la GEOMETRÍA PROYECTIVA que es la que la fundamenta.

Y no son euclidianas porque en esta geometría dos rectas paralelas son aquellas QUE SE CORTAN EN EL INFINITO. Es decir que se cortan en algún sitio. Pasen o no pasen por un punto exterior a una de ellas.

Pero, y eso ¿cómo va a ser? Pues yo me imagino que si la superficie donde se dibuja es parte de una gigantesca esfera, el infinito es el punto más alejado de donde está el dibujante.

De modo que en su papel puede dibujar una circunferencia normal y corriente.

O una circunferencia que tenga estirado uno de sus diámetros. En tal caso tendrá una elipse.

O una circunferencia tan estirada, tan estirada, que tenga un punto en el infinito (en el punto más alejado de la superficie donde dibuja el dibujante). En tal caso tendrá una parábola. Que, naturalmente, no podrá dibujar completamente.

O una circunferencia tan hiperestirada que tenga dos puntos en el infinito. Y eso ¿cómo va a ser? Veréis: suponed que la circunferencia es de goma. Se retuerce formando un ocho. Ese sitio donde se unen dos puntos al formar el ocho se coloca en el infinito ¡con lo que tiene dos puntos en el infinito! Y las dos partes curvas se estiran y se estiran hasta llevarlas hasta donde está el dibujante. Con lo que resulta una hipérbola ¿no? A las hipérbolas tampoco se pueden dibujar enteras.

Esta interpretación de las curvas cónicas no es de Apolonio, sino mía. Por lo que propongo a la comunidad universal bautizarlas como “curvas cómicas”.

De todos modos, salteriófilos de todo el mundo, os pido una vez más que si estoy errado ¡sacadme de mi error! ¡¡¡Os lo suplico!!!